三角形计算器：在线求解任意三角形

只要给出足够的测量值，这个三角形计算器就能立即求解任意三角形。输入三条边、两边及一角，或两角及一边，它会在你输入时自动算出其余所有属性——未知的边、角度、面积和周长。

三种模式覆盖各类需求：求解任意三角形的任意三角形模式、由两条直角边算出完整解的直角三角形模式，以及专门求斜边的勾股定理模式。每个结果都附有实时图示和分步公式。

注重隐私：所有计算都完全在你的浏览器中运行。你的测量数据绝不会上传到服务器或远程存储。

如何使用三角形计算器

选择模式

点击顶部的选项卡：求解任意三角形选任意三角形，已知直角三角形两条直角边选直角三角形，要由两条直角边求斜边则选勾股定理。

选择方法（任意三角形模式）

选择与你已知条件相符的方法：SSS（三条边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及一非夹边）或 SSA（两边及一非夹角）。

输入数值

填写输入框。从下拉菜单中设置长度单位（mm、cm、m、in、ft）和角度模式（度或弧度）。结果会在你输入时自动更新。

查看结果

结果会显示所有计算出的属性——边、角度、面积、周长、内切圆半径和外接圆半径——同时实时图示会随之重绘。展开解题步骤可查看每个公式以及数值是如何推导出来的。

功能特色

支持 5 种方法的任意三角形求解器

运用余弦定理和正弦定理求解任意三角形，涵盖全部五种情形：SSS、SAS、ASA、AAS 和 SSA。

直角三角形求解器

输入两条直角边，即可得到斜边、三个角、面积、周长，以及锐角的 sin、cos、tan 比值。

勾股定理

专门处理 a² + b² = c² 的模式。输入两条直角边即可得到斜边，并附每一步的清晰拆解。

分步解题

每个结果都附有所用的公式以及每个数值的推导过程，方便你验证并学习其中的数学原理。

实时三角形预览

SVG 图示会随你的输入实时重绘，以精确比例呈现，并标注各边和各角。

灵活的单位与角度

可从五种长度单位（mm、cm、m、in、ft）中选择，并在度与弧度之间切换，无需重新输入数值。

完整结果

除边和角之外，还能为每个有效三角形给出用海伦公式算得的面积、周长、内切圆半径和外接圆半径。

输入校验

系统会依据三角形不等式和角度限制校验输入，无法构成有效三角形时会给出清晰提示。

常见问题

如何求三角形的未知边？

选择与你已知条件相符的任意三角形方法。如果已知两边及其夹角，使用 SAS，余弦定理会补出第三条边。如果已知两角及一边，使用 ASA 或 AAS，正弦定理会求出其余部分。未知的边会立即出现在结果中。

已知三条边如何求三角形的各角？

选择 SSS 方法并输入全部三条边长。计算器会对每个角应用余弦定理，求出全部三个角。展开解题步骤即可看到具体的 cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc) 计算过程。

三角形的面积是如何计算的？

对于任意三角形，面积用海伦公式计算：√(s(s − a)(s − b)(s − c))，其中 s 是周长的一半。一旦通过任一方法求出全部三条边，面积、周长、内切圆半径和外接圆半径就会自动给出。

SSS、SAS、ASA、AAS 和 SSA 是什么意思？

每个字母代表一个已知条件，其中 "S" 是边（Side），"A" 是角（Angle），按围绕三角形的顺序排列。SSS 表示三条边都已知；SAS 表示两边及它们之间的夹角；ASA 和 AAS 表示两角加上一条夹边或非夹边；SSA 表示两边及一个非夹角。

如何求直角三角形的斜边？

使用勾股定理选项卡，输入两条直角边，它会用 c = √(a² + b²) 算出斜边。直角三角形选项卡同样能做到，并额外给出所有角、面积、周长，以及 sin、cos、tan 比值。

直角三角形选项卡与勾股定理选项卡有何区别？

两者都从直角三角形的两条直角边出发。勾股定理选项卡专注于一个答案——通过 a² + b² = c² 求斜边。直角三角形选项卡给出完整解：所有边、所有角、面积、周长、内切圆半径、外接圆半径以及三角比。

为什么提示三角形无效？

有效的三角形必须满足三角形不等式——任意两边之和必须大于第三边——并且各角必须在合理范围内（每个角介于 0° 与 180° 之间，且三角之和小于 180°）。如果你的数值违反这些规则，就不存在真实的三角形，计算器会显示错误。

内切圆半径和外接圆半径是什么？

内切圆半径（r）是能放进三角形内部的最大圆（内切圆）的半径。外接圆半径（R）是经过三个顶点的圆（外接圆）的半径。每个有效三角形都会给出这两个值。

可以用弧度代替度吗？

可以。用角度模式下拉菜单在度与弧度之间切换，每个角度输入和结果都会相应调整。你也可以随时更改长度单位，无需重新输入数值。