什么是向量计算器？
向量计算器是一种数学工具，用于对向量进行运算——向量是同时具有大小（模长）和方向的量。与普通数字（标量）不同，向量表示为有序的分量集合，例如2D空间中的(x, y)或3D空间中的(x, y, z)。
支持的运算
需要两个向量的运算
- 加法 (A + B) - 通过将对应分量相加来组合两个向量
- 减法 (A − B) - 求两个向量之间的差
- 点积 (A · B) - 计算标量积，用于求夹角和投影
- 叉积 (A × B) - 生成垂直于两个输入向量的向量（仅限3D）
- 向量夹角 - 确定两个向量之间的角度（以度和弧度表示）
- 投影 - 将一个向量投影到另一个向量上
单向量运算
- 模长 (|A|) - 计算向量的长度
- 单位向量 (Â) - 将向量归一化为长度1，同时保持方向
- 标量乘法 (k · A) - 用常数因子缩放向量
2D和3D支持
2D向量
使用x和y分量处理二维向量，进行平面计算。
- 适用于2D几何
- 更简单的可视化
- 除叉积外的所有运算
3D向量
扩展到三维空间，使用x、y和z分量进行空间计算。
- 完整的3D空间运算
- 可使用叉积
- 物理和工程应用
只需使用2D/3D开关在维度之间切换。请注意，叉积运算仅在3D模式下可用，因为它需要三维空间才能产生有意义的结果。
如何使用向量计算器
选择维度
首先使用顶部的维度切换按钮选择要使用2D还是3D向量。在2D模式下，您将输入x和y分量。在3D模式下，会出现额外的z分量输入框。
输入向量值
在提供的输入框中输入向量的分量：
- 向量A - 在蓝色标签卡片中输入x、y（3D模式下还有z）值
- 向量B - 在红色标签卡片中输入值（双向量运算时可见）
选择运算
从分为两组的可用运算中选择：
- 双向量 - 需要A和B的运算（加法、减法、点积、叉积、夹角、投影）
- 单向量 - 仅对向量A的运算（模长、单位向量、标量乘法）
查看结果
当您输入值或更改运算时，结果会立即显示：
- 向量结果显示为坐标(x, y)或(x, y, z)
- 标量结果（点积、模长）显示为单个数字
- 角度结果同时显示度数和弧度
使用可视化
右侧的坐标平面以图形方式显示您的向量：
向量A
向量B
结果向量
使用缩放控件（+、−、重置）调整视图比例，清晰查看不同模长的向量。
查看公式和步骤
点击结果下方的"显示公式和步骤"可查看：
- 计算所用的数学公式
- 如何计算出结果的分步说明
功能特点
实时计算
结果在您输入时即时更新。无需点击计算按钮——只需输入值即可立即看到结果。
- 即时反馈
- 无需计算按钮
- 自由尝试不同值
交互式可视化
内置坐标平面提供向量的可视化表示，带有彩色编码的箭头和可调节的缩放。
- 向量绘制为从原点出发的箭头
- 颜色编码便于识别
- 箭头尖端显示坐标
- 缩放控件适应不同模长
分步解答
每个计算都包含详细的分解说明，显示公式、中间步骤以及最终结果的推导过程。
- 数学公式
- 中间计算步骤
- 清晰的推导过程
全面的运算
涵盖从基本算术到高级几何计算的所有基本向量运算。
- 加法和减法
- 点积和叉积
- 夹角和投影
- 模长和归一化
标量乘法预设
快速选择按钮提供常用标量值，用于即时向量缩放运算。
- −1 - 反转方向
- 2 - 长度加倍
- 0.5 - 长度减半
- 10 - 放大10倍
深色模式支持
自动适应您系统的深色模式偏好，为两种主题优化颜色。
- 自动主题检测
- 舒适的观看体验
- 优化的可视化颜色
复制结果
点击复制按钮将结果复制到剪贴板。向量结果以坐标格式(x, y)或(x, y, z)复制，便于粘贴到其他应用程序或文档中进一步使用。
常见问题
点积和叉积有什么区别？
点积(A · B)返回一个标量（单个数字），衡量两个向量在同一方向上的程度。它等于|A||B|cos(θ)，其中θ是它们之间的夹角。
叉积(A × B)返回一个垂直于两个输入向量的向量，模长为|A||B|sin(θ)。叉积仅对3D向量定义。
标量结果
- 返回单个数字
- 衡量对齐程度
- 适用于2D和3D
- 公式：A · B = |A||B|cos(θ)
向量结果
- 返回向量
- 垂直于两个输入
- 仅限3D
- 模长：|A||B|sin(θ)
为什么叉积仅在3D模式下可用？
叉积产生一个垂直于两个输入向量的向量。在2D空间中，没有第三个维度供这个垂直向量存在。
什么是单位向量？
单位向量的模长（长度）恰好为1，同时保持与原始向量相同的方向。它通过将每个分量除以向量的模长来计算：
 = A / |A|
Example:
A = (3, 4)
|A| = √(3² + 4²) = 5
 = (3/5, 4/5) = (0.6, 0.8)单位向量用于表示方向而不考虑大小，在物理学和计算机图形学中常用。
为什么不能归一化零向量？
零向量(0, 0)或(0, 0, 0)没有方向——它只是一个点。由于归一化在保持方向的同时将模长设为1，因此对于没有方向的向量来说，这在数学上是未定义的。
向量投影是什么意思？
A在B上的投影(projB(A))给出向量A沿向量B方向的分量。
想象垂直于B照射光线——A在B上的影子就是投影。
proj_B(A) = ((A · B) / |B|²) × B
Where:
• A · B is the dot product
• |B|² is the magnitude of B squared
• Result is a vector along B's direction向量夹角如何计算？
向量A和B之间的夹角θ使用点积公式求得：
θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|))
Result formats:
• Degrees: 0° to 180°
• Radians: 0 to π计算器以度数和弧度显示结果，方便使用。
计算器使用什么精度？
结果显示最多4位小数，尾随零会被删除以获得更清晰的输出。内部计算使用完整的浮点精度以确保准确性。
可以使用负数吗？
可以，所有向量分量都可以是正数、负数或零。负值只是表示沿负轴的方向。
示例：向量(−3, 4)在2D空间中指向左上方，而(3, −4)指向右下方。
- 负x：指向左侧（西）
- 负y：指向下方（南）
- 负z：指向后方（3D中）
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