二维和三维向量运算计算器

这款向量计算器能在二维 (x, y) 和三维 (x, y, z) 空间中完成常见的向量运算——向量是同时具有大小和方向的量。输入向量 A（需要时再输入 B）的各分量，选择一种运算，结果会立即更新，并在旁边同步显示图形。

它涵盖了从加法和减法到点乘、叉乘、向量夹角、投影、模长、单位向量 以及数乘的全部运算。无论是检查作业的学生，还是从事物理、工程或计算机图形学的人，都能用得上。

隐私至上： 所有计算都完全在你的浏览器中进行，你的向量永远不会上传到服务器。

如何使用向量计算器

用顶部的维度切换在二维和三维之间切换。在三维模式下，每个向量都会多出一个 z 输入框。

输入 向量 A 的各分量；对于双向量运算，再输入 向量 B。随着输入，每张卡片会在输入框下方显示该向量的模长（|A|、|B|）。

选择 两个向量 的运算（加、减、点乘、叉乘、夹角、投影），或 单个向量 的运算（模长、单位向量、数乘）。叉乘仅在三维模式下出现。

结果会立即出现：向量以坐标形式显示，标量为单个数字，角度则同时以度和弧度给出。打开 显示公式和步骤 即可看到所用公式和完整的推演过程，并可一键复制结果。

只要改动数值或运算，结果立刻更新——无需再点单独的计算按钮。

坐标平面会绘制 A、B 和结果的彩色箭头，并提供放大、缩小和重置控件。

展开公式面板，即可看到所用的确切公式以及通往答案的每一个中间步骤。

加法、减法、点乘、叉乘、夹角、投影、模长、单位向量和数乘，全部集于一处。

−1、2、0.5 和 10 的快捷按钮，让你无需输入即可反向、加倍、减半或缩放向量。

一键在二维和三维向量之间切换；切到三维时叉乘会自动解锁。

界面和可视化配色会随你的深色模式偏好自动适配，看起来更舒适。

以坐标形式将任意结果复制到剪贴板，可直接粘贴到笔记或其他应用中。

把对应的分量相乘再相加：二维时，A · B = A_xB_x + A_yB_y；三维时还要再加上 A_zB_z 这一项。结果是一个数字（标量）。选择 A · B 运算，计算器就会替你算好，下方还能展开完整步骤。

点乘（A · B）得到一个标量，衡量两个向量在多大程度上指向同一方向，它等于 |A||B|cos θ。叉乘（A × B）得到一个垂直于两个输入向量的向量，其模长为 |A||B|sin θ。叉乘只对三维向量有定义。

把每个分量平方后相加，再开平方根：二维时 |A| = √(x² + y²)，三维时 √(x² + y² + z²)。计算器会在各向量输入框下方实时显示其模长，选择 |A| 运算还会把它作为主结果显示。

用点乘公式 θ = arccos((A · B) / (|A| · |B|))。选择 ∠(A,B) 运算，结果会同时以度（0° 到 180°）和弧度（0 到 π）显示。

单位向量的长度恰好为 1，同时保持原来的方向。归一化的做法是用每个分量除以模长：Â = A / |A|。零向量没有方向，因此无法归一化——如果你尝试这么做，计算器会提示错误。

是的。叉乘得到一个垂直于两个输入向量的向量，而这需要第三个维度才能存在。因此 A × B 按钮只在三维模式下出现；在二维中，结果没有可指向的垂直方向。

A 在 B 上的投影（proj_BA）是 A 中沿着 B 方向的那一部分——就像 A 投在 B 上的影子。它的计算公式为 ((A · B) / |B|²) × B。向零向量投影没有定义，因此计算器会标出这种情况。

可以。每个分量都可以是正数、负数、零或小数；负值只是表示沿坐标轴的负方向。结果最多显示四位小数，并去掉末尾多余的零，而内部计算则保留完整的浮点精度。