Máy Tính Số Phức

Số phức có dạng a + bi, trong đó:

• a là phần thực
• b là phần ảo
• i là đơn vị ảo được định nghĩa là √-1 (trong đó i² = -1)

Số phức mở rộng hệ thống số thực và rất cần thiết trong nhiều lĩnh vực toán học, vật lý, kỹ thuật, xử lý tín hiệu và cơ học lượng tử. Chúng cho phép chúng ta giải các phương trình không có nghiệm thực, chẳng hạn như x² + 1 = 0.

Nhập phần thực vào trường đầu tiên và phần ảo vào trường thứ hai:

• Đối với 3+4i, gõ 3 vào trường phần thực và 4 vào trường phần ảo
• Đối với phần ảo âm như 3-4i, nhập 3 và -4
• Đối với số thực thuần túy như 5, nhập 5 và 0
• Đối với số ảo thuần túy như 3i, nhập 0 và 3

Argand diagram (còn gọi là mặt phẳng phức hoặc mặt phẳng Gauss) là biểu diễn hình học của số phức:

• Trục ngang biểu diễn phần thực
• Trục dọc biểu diễn phần ảo
• Mỗi số phức tương ứng với một điểm duy nhất (hoặc vector từ gốc tọa độ)
• Khoảng cách từ gốc tọa độ là modulus |z|
• Góc từ trục thực dương là argument arg(z)

Trực quan hóa này làm cho các phép toán số phức trở nên trực quan: phép cộng trở thành phép cộng vector, phép nhân xoay và co giãn, và liên hợp phản chiếu qua trục thực.

Cả hai dạng đều biểu diễn cùng một số theo các cách khác nhau. Bạn có thể chuyển đổi giữa chúng bằng cách sử dụng:

• Rectangular sang Polar: r = √(a² + b²), θ = arctan(b/a)
• Polar sang Rectangular: a = r cos(θ), b = r sin(θ)

Phép chia cho 0+0i không xác định, giống như phép chia cho không trong số thực. Điều này là do:

• Không có số nào khi nhân với 0 cho kết quả khác không
• Phép toán sẽ yêu cầu chia cho modulus bằng không
• Nó vi phạm các nguyên tắc toán học cơ bản

Liên hợp của a + bi là a - bi. Đó là phản chiếu của số qua trục thực trên Argand diagram.

Tại Sao Liên Hợp Quan Trọng:

• Phép chia: Nhân với liên hợp hữu tỉ hóa mẫu số
• Modulus: |z|² = z × z̄ (tích của một số và liên hợp của nó)
• Trích xuất phần thực: Re(z) = (z + z̄)/2
• Trích xuất phần ảo: Im(z) = (z - z̄)/(2i)

Ví dụ: Liên hợp của 3+4i là 3-4i. Khi nhân: (3+4i)(3-4i) = 9 + 16 = 25 (một số thực).

Modulus |z| của số phức z = a + bi là khoảng cách của nó từ gốc tọa độ:

Modulus biểu diễn độ lớn hoặc giá trị tuyệt đối của số phức. Nó luôn là một số thực không âm.

Thuộc Tính Của Modulus:

• |z₁ × z₂| = |z₁| × |z₂| (modulus của tích = tích của các modulus)
• |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂| (modulus của thương = thương của các modulus)
• |z̄| = |z| (liên hợp có cùng modulus)
• |z|² = z × z̄ (modulus bình phương bằng tích với liên hợp)

Ví dụ: Đối với z = 3+4i, modulus là |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Argument arg(z) là góc giữa trục thực dương và đường thẳng từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn z trên mặt phẳng phức.

Điểm Chính:

• Đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục thực dương
• Có thể được biểu thị bằng độ (0° đến 360°) hoặc radian (0 đến 2π)
• Còn được gọi là pha hoặc góc của số phức
• Argument chính thường nằm trong khoảng (-π, π] hoặc (-180°, 180°]

Thuộc Tính Argument:

• arg(z₁ × z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) (góc cộng trong phép nhân)
• arg(z₁ / z₂) = arg(z₁) - arg(z₂) (góc trừ trong phép chia)
• arg(z̄) = -arg(z) (liên hợp có góc đối)

Ví dụ: Đối với z = 3+4i, argument là arctan(4/3) ≈ 53.13° hoặc ≈ 0.927 radian.