Nhập 2 + 3 × 4 vào bất kỳ máy tính nào và kết quả sẽ là 14, không phải 20. Máy tính không đọc biểu thức của bạn từ trái sang phải — nó sắp xếp các phép tính theo độ ưu tiên trước. Việc sắp xếp đó chính là thứ tự phép tính, một bộ quy tắc cố định mà mọi máy tính biểu thức đều áp dụng trước khi hiển thị bất kỳ con số nào.
Nắm được những quy tắc này là sự khác biệt giữa việc tin tưởng vào kết quả và bị bất ngờ một cách thầm lặng. Đây là chính xác những gì xảy ra từ lúc bạn nhấn dấu bằng đến khi một con số xuất hiện.
Thang độ ưu tiên mà máy tính leo qua
Mọi phép tính chuẩn đều tuân theo cùng một thang bốn bậc, thường được ghi nhớ là PEMDAS ở Mỹ hoặc BODMAS ở các nơi khác. Máy tính giải quyết hoàn toàn bậc trên cùng rồi mới đi xuống:
- Dấu ngoặc — bất cứ thứ gì bên trong
( )được tính trước, từ cặp ngoặc trong cùng ra ngoài. - Lũy thừa (số mũ) — lũy thừa và căn bậc, chẳng hạn
3²hoặc√9. - Nhân và chia — được xử lý cùng nhau như một bậc duy nhất, không phải hai bậc riêng.
- Cộng và trừ — cũng là một bậc duy nhất dùng chung cho cả hai.
Vì vậy trong 2 + 3 × 4, bậc nhân có độ ưu tiên cao hơn bậc cộng: máy tính tính 3 × 4 = 12, rồi 2 + 12 = 14. Dấu cộng được nhập trước, nhưng lại được tính sau cùng.
Quy tắc mà hầu hết mọi người đều hiểu sai
Các chữ cái trong PEMDAS gợi ý rằng nhân đứng trước chia, và cộng đứng trước trừ. Thực ra không phải vậy. Nhân và chia cùng một bậc, và cộng và trừ cùng một bậc khác. Khi hai phép tính cùng bậc đứng cạnh nhau, máy tính phá vỡ thế cân bằng bằng cách tính từ trái sang phải.
Điều này quan trọng hơn vẻ ngoài của nó. Xét 16 ÷ 4 ÷ 4. Đọc từ trái sang phải, máy tính tính (16 ÷ 4) ÷ 4 = 1 — không phải 16 ÷ (4 ÷ 4) = 16. Tương tự với 10 − 4 + 2, kết quả là (10 − 4) + 2 = 8, không bao giờ là 4. Theo quy ước thứ tự phép tính chuẩn, các phép tính có cùng độ ưu tiên luôn được tính từ trái sang phải.
Vị trí của lũy thừa và dấu ngoặc
Lũy thừa được giải quyết trước mọi phép nhân hoặc chia, vì vậy 2 + 3² trở thành 2 + 9 = 11. Lũy thừa xếp chồng có đặc điểm riêng: chúng có tính kết hợp phải, nghĩa là máy tính tính từ trên xuống. Máy tính ở trên chuyển đổi phím ^ thành toán tử lũy thừa JavaScript, tính 2^3^2 là 2^(3²) = 2⁹ = 512 — không phải (2³)² = 64.
Dấu ngoặc là công cụ duy nhất có thể ghi đè toàn bộ thang ưu tiên. Bao một phần biểu thức trong ngoặc buộc nó lên đầu hàng đợi: (2 + 3) × 4 = 20 thay vì 14. Các hàm khoa học tuân theo logic tương tự — sin, log, và √ đều giải quyết những gì nằm bên trong dấu ngoặc của chúng trước khi kết quả đó tham gia lại vào biểu thức.
Máy tính này áp dụng thứ tự phép tính như thế nào
Công cụ ở trên là một máy tính biểu thức: thay vì xử lý từng lần nhấn phím, nó đọc toàn bộ dòng bạn đã nhập và tính toán như một biểu thức duy nhất. Bên trong, nó chuyển biểu thức đó cho engine JavaScript của trình duyệt, vốn áp dụng chính xác thang độ ưu tiên đã mô tả ở trên. Đó là lý do tại sao 2 + 3 × 4 trên màn hình trả về 14 ngay khi bạn nhấn dấu bằng.
Có một giới hạn cố ý đáng lưu ý: máy tính cần một dấu × rõ ràng. Nhập 2(3 + 4) sẽ không được hiểu là phép nhân — bạn phải nhập 2 × (3 + 4). Thao tác thêm đó không phải sơ suất; nó tránh được một trong những vấn đề gây tranh cãi nhất trong số học.
Sự mơ hồ nổi tiếng: 6 ÷ 2(1 + 2)
Các biểu thức như 6 ÷ 2(1 + 2) lan truyền rộng rãi vì các máy tính thực sự không đồng ý với nhau. Thủ phạm là phép nhân ngầm định — hai giá trị đặt cạnh nhau không có ký hiệu nào ở giữa. Một số máy cho phép nhân kiểu này độ ưu tiên cao hơn phép chia thông thường; số khác xử lý nó như phép nhân bình thường.
Sự bất đồng này được ghi nhận rõ ràng. Biểu thức như 1/2x được TI-82 và nhiều dòng Casio hiện đại hiểu là 1/(2x), nhưng TI-83 và mọi máy tính TI ra mắt từ năm 1996 lại hiểu là (1/2)x. Không có máy tính nào bị lỗi — chính ký hiệu đó mơ hồ, và cách khắc phục duy nhất là thêm dấu ngoặc để nói rõ ý bạn muốn.
Kiểm soát kết quả tính toán
Một vài thói quen giúp thứ tự phép tính phục vụ bạn thay vì chống lại bạn:
- Thêm dấu ngoặc khi nghi ngờ — chúng không tốn gì và loại bỏ mọi sự mơ hồ, kể cả bẫy nhân ngầm định.
- Đừng bao giờ cho rằng nhân thắng chia — chúng cùng bậc, nên máy tính chỉ đơn giản tính từ trái sang phải.
- Chú ý dấu trừ — hầu hết máy tính đọc
−3²là−(3²) = −9; nếu bạn muốn bình phương của âm ba, hãy nhập(−3)². - Chia công thức dài thành từng phần — nhóm mỗi phần trong dấu ngoặc thay vì tin vào một dòng dài không ngắt.
- Ước tính trước — một kết quả thô trong đầu sẽ giúp bạn phát hiện ngay khi độ ưu tiên bất ngờ khiến kết quả lệch xa.
Tự kiểm tra: nhập 2 + 3 × 4 vào máy tính ở trên. Kết quả 14 có nghĩa là nó đang tuân theo thứ tự phép tính; nếu bạn kỳ vọng 20, bạn đang đọc dòng từ trái sang phải thay vì theo độ ưu tiên.