Aritmatika floating-point — mengapa kalkulator menunjukkan desimal aneh

Sebuah kalkulator online memberikan jawaban bersih untuk satu perhitungan desimal dan deretan digit tak terduga untuk perhitungan berikutnya. Perbedaan ini bukan acak dan bukan cacat perangkat lunak — melainkan konsekuensi yang dapat diprediksi dari bagaimana aritmatika floating-point merepresentasikan angka dalam biner. Setelah Anda memahami sistem ini, kejutan menjadi dapat dibaca: Anda bisa langsung tahu hasil mana yang tepat dan mana yang membawa kesalahan tersembunyi kecil.

Standar di balik setiap kalkulator berbasis browser: IEEE 754

Setiap bahasa pemrograman utama, dan setiap browser yang menjalankan JavaScript, menyimpan angka desimal sesuai dengan standar IEEE 754 untuk aritmatika floating-point biner, yang pertama kali diterbitkan pada 1985 oleh Institute of Electrical and Electronics Engineers. Versi terkini, IEEE 754-2019, diterbitkan pada Juli 2019. Hampir semua unit floating-point perangkat keras, dari prosesor laptop hingga smartphone, mengimplementasikan standar ini.

Kalkulator online — termasuk yang di atas — menggunakan varian khusus yang disebut presisi ganda (binary64): 64 bit per angka, dengan 53 bit didedikasikan untuk digit signifikan dan sisanya untuk mengkodekan skala (eksponen). Signifikan 53-bit ini memberikan sekitar 15 sampai 17 digit desimal signifikan presisi. Untuk kebanyakan keperluan sehari-hari, ini sudah lebih dari cukup — tetapi format ini memiliki batasan struktural yang kadang muncul sebagai output tak terduga.

Penyebab utama: pecahan biner tidak bisa merepresentasikan semua desimal dengan tepat

Komputer bekerja dalam basis 2. Setiap angka yang disimpan dibangun dari pangkat 2: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16…. Setiap pecahan desimal yang dapat dinyatakan sebagai jumlah terbatas dari pangkat-pangkat tersebut — seperti 0,5 (= 1/2), 0,25 (= 1/4), atau 0,125 (= 1/8) — disimpan dengan tepat. Pecahan desimal lain membutuhkan urutan biner tak hingga, yang harus dibulatkan oleh format 64-bit ke nilai terdekat yang dapat direpresentasikan.

Situasi ini mirip dengan notasi desimal dan pecahan 3. Anda tidak bisa menulis 1/3 dengan tepat dalam desimal — itu adalah 0,333333… selamanya. Anda membulatkannya ke sejumlah tempat dan menerima kesalahan kecil. Aritmatika floating-point melakukan hal yang sama, tapi dalam basis 2, dan pecahan yang menyebabkan masalah berbeda: 1/5 (= 0,2), 1/10 (= 0,1), dan 3/10 (= 0,3) semuanya adalah pecahan berulang tak hingga dalam biner.

Diagram membandingkan pecahan desimal yang tepat dalam biner versus yang membutuhkan urutan biner tak hingga dan harus dibulatkan

Bagaimana kesalahan pembulatan menumpuk dalam perhitungan

Satu nilai yang dibulatkan memperkenalkan kesalahan yang sangat kecil — biasanya pada tempat desimal ke-16 atau ke-17 — sehingga tidak terlihat dalam penggunaan sehari-hari. Masalah bertambah ketika beberapa nilai yang dibulatkan berinteraksi dalam rangkaian operasi. Setiap langkah bisa memperbesar kesalahan atau kebetulan menguranginya, dan hasilnya tidak selalu dapat diprediksi hanya dengan inspeksi.

Beberapa pola yang cenderung menampilkan digit tak terduga:

Menambahkan banyak desimal — menjumlahkan sepuluh nilai seperti 0,1 masing-masing menghasilkan 0.9999999999999999 bukan tepat 1, karena kesalahan pembulatan pada setiap 0,1 menumpuk.
Perkalian dengan angka mendekati 1 — 1.1 × 3 menghasilkan 3.3000000000000003 dalam JavaScript; sedikit kelebihan taksiran 1,1 dalam biner diperbesar oleh perkalian.
Pengurangan angka yang hampir sama (penghapusan katastrofik) — mengurangkan dua nilai yang dekat dapat kehilangan banyak digit signifikan: 1.0000000000000002 - 1 menampilkan celah yang biasanya tak terlihat.
Operasi berulang — pembagian diikuti perkalian dengan nilai yang sama tidak selalu mengembalikan angka asli dengan tepat, karena setiap langkah memperkenalkan pembulatan sendiri.

Contoh yang bisa Anda uji di kalkulator di atas

Kalkulator di atas menggunakan mesin floating-point 64-bit asli JavaScript — tidak ada pembulatan tambahan selain Math.round(result * 1e10) / 1e10, yang menghaluskan kesalahan pada tempat desimal kesepuluh tapi membiarkan yang lebih jauh terlihat. Ini membuatnya menjadi jendela andal ke perilaku floating-point nyata.

0.1 + 0.2 → 0.30000000000000004 (kasus paling terkenal)
1.1 × 3 → 3.3000000000000003
0.1 × 0.1 → 0.010000000000000002
1 ÷ 3 × 3 → 1 (kesalahan saling menghilangkan dalam kasus ini)
0.5 + 0.25 → 0.75 (tepat — keduanya adalah pangkat dua)

Perhatikan bahwa hasil "bersih" muncul tepat di mana nilai yang terlibat adalah pecahan biner yang tepat. Digit tak terduga muncul di tempat yang bukan pecahan biner tepat.

Apa arti batas presisi dalam praktik

Presisi ganda IEEE 754 memberikan sekitar 15–17 digit desimal signifikan sebelum pembulatan dipaksa. Untuk sebagian besar penggunaan, presisi ini sangat besar: pengukuran akurat hingga 10 tempat desimal, angka keuangan dengan 14 digit signifikan, atau konstanta fisika yang digunakan dalam perhitungan teknik semuanya berada dalam rentang ini dengan nyaman.

Situasi di mana batas ini penting:

Perangkat lunak keuangan — perhitungan mata uang menumpuk kesalahan pembulatan kecil di jutaan transaksi. Sistem keuangan produksi menggunakan aritmatika fixed-point (bilangan bulat yang mewakili sen penuh) daripada floating-point untuk menghindari ini sepenuhnya.
Simulasi ilmiah — metode numerik jangka panjang (model iklim, dinamika fluida) menumpuk pembulatan selama jutaan langkah; peneliti menggunakan presisi diperluas atau pustaka numerik khusus.
Perbandingan kesetaraan dalam kode — bertanya "apakah hasil ini tepat 0,3?" hampir selalu salah; praktik standar adalah memeriksa apakah hasil berada dalam toleransi kecil dari 0,3.

Cara mengatasi kejutan floating-point

Untuk perhitungan sehari-hari — kesalahan ada di tempat desimal ke-16 dan tidak berdampak praktis. Percayalah pada hasilnya.
Untuk pekerjaan keuangan di kalkulator umum — bulatkan hasil akhir ke jumlah tempat desimal yang diperlukan (misalnya, 2 untuk mata uang) dan anggap hanya nilai yang dibulatkan yang bermakna.
Untuk memeriksa apakah kesalahan adalah floating-point — masukkan ekspresi yang sama dalam sesi baru dan bandingkan; kesalahan floating-point bersifat deterministik, jadi jawabannya akan sama setiap kali untuk ekspresi yang sama.
Untuk mengidentifikasi input aman — nilai yang merupakan pecahan pangkat dua tepat (0,5, 0,25, 0,125, 0,0625…) atau bilangan bulat selalu disimpan dengan tepat. Jika Anda bisa merumuskan ulang masalah Anda dalam istilah ini, Anda menghilangkan sumber kesalahan.

Lihat sendiri: masukkan 1.1 × 3 di kalkulator di atas, lalu 0.5 × 3. Yang pertama memberikan ekor kecil digit tak terduga; yang kedua memberikan 1,5 yang bersih. Kontras ini menangkap keseluruhan cerita floating-point: input biner-tepat, jawaban biner-tepat; input bukan biner-tepat, pembulatan di batas presisi.